miércoles, 3 de julio de 2013

Suma y resta de números enteros con paréntesis

Sumas y restas entre números enteros


Los comerciantes europeos usaban los signos "+" y "-" para diferenciar las ganancias de las pérdidas o deudas.
De allí fue que los matemáticos adoptaron estos signos y, comenzaron a escribir 5 + 10 en vez de
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Esto era lo que se usaba antes de usarse el signo "+" : "p'' era el símbolo de la suma, pues la palabra "plus'' significa en latín "más''. Así, cuando en Europa se comenzaron a usar los números que representaban deudas, se les asignó el signo "-'' adelante.

Se comenzará por observar que una resta entre números naturales puede interpretarse de la siguiente manera, usando los números negativos:
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Si se piensa que el número negativo -6 representa una deuda en bolívares, está claro que al tener 10 Bs. más una deuda de 6 Bs., el saldo es de 4 Bs., y esto es lo que se obtiene al restar 10 -6.
Así, siempre que se tenga que realizar una resta , puede escribirse como la suma del minuendo más el opuesto del sustraendo.





En esta operación última la resta podría parecer un poco extraña: un número negativo menos un número positivo. Si la escribimos como suma del minuendo más el opuesto del sustraendo, se obtiene una suma de dos números negativos. Podría decirse, la suma de dos deudas. Ciertamente, eso lo que da es una deuda mayor que las anteriores. ¿Exactamente a cuánto alcanza la deuda?

Naturalmente, se suman 20+37=57 y eso da la cantidad que se debe, es decir,

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Veamos ahora este caso:

En este caso, debe restarse a 30 un número mayor, que es 40. Si se interpreta como la suma de 30 + (-40) , se puede realizar esa operación, cosa que no podía hacerse cuando no se conocían los números negativos. Volviendo a pensar en deudas, se tiene 30 Bs. y una deuda de 40 Bs. Eso significa que se paga lo que se tiene y se siguen debiendo 10 Bs.
Es decir:
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Ahora se sabe que cualquier resta se puede interpretar como una suma (el minuendo más el opuesto del sustraendo). Bastará entonces con aprender bien a realizar la SUMA de números enteros, para poder realizar cualquier suma o resta de números enteros. Como los números enteros pueden ser positivos o negativos, se estudiarán los casos que es posible encontrar:


Suma de dos enteros positivos:
Se realiza como hasta ahora se han sumado dos números naturales:

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Suma de dos enteros de signos contrarios
:
Cuando se suman dos números de signos contrarios, se está en presencia de una ganancia y una pérdida; se sabe bien que si la pérdida es mayor que la ganancia, lo que queda al final es una deuda, y si, por el contrario, la ganancia es mayor que la pérdida, lo que queda es ganancia.
De esta manera, se ve que el signo del resultado de sumar dos números de signos contrarios es el signo del mayor de los números, si ambos fueran positivos.



Podría interpretarse la suma del ejemplo como la operación de "moverse" 8 unidades a la derecha de -10. Se puede ver que, como 8 es menor que 10, al moverse uno 8 unidades a la derecha, no alcanza al cero. Faltarían 2 unidades para alcanzar al cero. Es decir, se llega hasta -2.
El monto total de pérdida o ganancia en cada caso será la diferencia entre los números, ignorando el signo.

En el ejemplo 5: -10+8=-2 porque la diferencia entre 10 y 8 es 2.

En el ejemplo 6: 11+(-8)=3 porque la diferencia entre 11 y 8 es 3.

De nuevo, puede interpretarse esta suma como el resultado de moverse desde 11, hacia la izquierda, 8 unidades.
Otros ejemplos:
                
      -5+7=2 

    3+(-1)=2
    9+(-12)=-3

En los ejemplos citados al comienzo, se tienen sumas de números con signos contrarios.
Se tiene
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El resultado 9, lleva el signo positivo porque 12 tiene signo positivo. En 2), igualmente tenemos
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En cambio, en 4), el mayor de los dos números (sin tomar en cuenta el signo) entre 30 y (-40) es 40. En la suma original, tiene signo negativo, por lo tanto, al restar 40-30, para efectuar esa suma, debemos colocarle el signo negativo al resultado.

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Si has acertado en todas tus respuestas, ¡felicitaciones! has hecho un buen avance, y eso te permitirá seguir aprendiendo lo que sigue sin dificultades.
Si no has realizado correctamente alguno de los ejercicios, revisa de nuevo los ejemplos que se han dado antes, para que asimiles mejor las ideas expuestas.

Suma de dos enteros negativos:
Si tenemos que sumar, por ejemplo, -9 + (-3) , ya sabemos que la suma de dos deudas es una deuda, en este caso igual a:

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Veamos otros ejemplos:

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Hemos dicho antes que el opuesto de un número entero es aquel que, sumado a nuestro número, nos da el cero:


El opuesto de 5 es -5, pues 5 + (-5) = 0
El opuesto de 3 es -3, pues 3+ ( -3) = 0
El opuesto de -7 es 7, pues -7 + 7 = 0
El opuesto de -1 es 1, pues -1+1 = 0

Es claro que dado cualquier entero positivo, para encontrar su opuesto, basta con anexarle un signo - por delante. Por ejemplo: el opuesto de 8 es -8.
El signo -, delante de cualquier expresión matemática, significa el opuesto de esa expresión. Por ejemplo: el opuesto de -6 es -(-6)=+6.
Por otra parte, como se acaba de ver en los ejemplos anteriores, para encontrar el opuesto de un número negativo, basta con eliminar el signo - del número. Por ejemplo: el opuesto de -9 es 9.
Viendo estas cosas desde el punto de vista de las deudas y las ganancias, es natural pensar que lo opuesto de una deuda es una ganancia de esa misma magnitud:

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Es muy importante tener presente lo que cada símbolo matemático significa. Aprender Matemáticas se parece a aprender un idioma nuevo. Si no se comprende lo que significa cada palabra de una frase, no se puede entender la frase.
Entre los símbolos importantes en el lenguaje de las matemáticas está el signo -. Como se dijo antes, no debe olvidarse su significado: se usa para expresar el opuesto de cualquier expresión que le siga.
Si se quiere calcular lo siguiente:
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Aquí es importante decir que el paréntesis sirve para especificar lo siguiente: todo lo que está dentro del paréntesis está afectado por el signo negativo. Si se tiene en cuenta el significado de esa expresión matemática, no habrá dificultad alguna, pues basta con calcular lo que está dentro del paréntesis, y luego encontrar su opuesto, porque eso es lo que indica el signo - delante de todo.
Entonces, 76+32=108, y el opuesto de 108 es -108, por lo tanto,

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Otros ejemplos:

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Ahora, ocurre algo muy simpático con estos ejemplos, y es que se pueden hacer los cálculos de otra manera y obtener el mismo resultado. Con mucha frecuencia en Matemáticas ocurre esto: hay más de una forma correcta de resolver los problemas y ejercicios.
Se verá cuál es esa otra forma en este caso. En el primer ejemplo,

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en lugar de calcular, como se hizo antes, en primer lugar lo que está dentro del paréntesis, es posible deshacerse del paréntesis primero, haciendo "entrar" al signo -, permitiéndole actuar sobre cada número, así:

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El signo -, al entrar en la expresión dentro del paréntesis, se coloca delante de cada número que encuentra a su paso, y luego se realizan las operaciones indicadas.
Se calcularán los otros ejemplos, haciéndolo de esta misma manera:

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Signos de agrupación
Algunas veces se hace necesario realizar operaciones de suma y resta con más de dos números enteros, por ejemplo:

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Los signos tex2html_wrap_inline399 (paréntesis), tex2html_wrap_inline401 (corchetes) y tex2html_wrap_inline403 (llaves) son llamados signos de agrupación y su papel en las expresiones como la anterior, es el mismo que el de los paréntesis, explicado ya.
La diferencia entre un signo de agrupación y otro es sólo que se usan en este orden: el más interno: paréntesis, luego viene el corchete, y el más externo es la llave.
Un signo - delante de un paréntesis o de un corchete, o de una llave, indica que se tomará el opuesto de todo lo que hay dentro del signo de agrupación.
Deberán, entonces, realizarse las operaciones que están dentro de cada signo de agrupación y luego cambiarse el signo en este caso.
Si el paréntesis, el corchete o la llave están precedidos por un signo +, no se cambia el signo de lo que está dentro de los signos de agrupación.
Para realizar la operación anterior, se comienza por operar con lo que hay dentro de los signos de agrupación más internos: los paréntesis.

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Así la expresión

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se transforma en

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Ahora se calcula lo que hay dentro de los corchetes:

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y se escribe

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Resolviendo las operaciones dentro de las llaves, se obtiene

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y así la expresión original es igual a

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